Question

18．已知函數f（x）=x²（x-a），其中a∈R．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）的過點（1，0）的切線方程．
（2）討論函數y=f（x）在[0，4]上的單調性．

Answer 1

分析 （1）設出切點坐標是（m，m²（m-1），表示出切線方程，求出m的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x²（x-1），
f′（x）=2x（x-1）+x²=3x²-2x，
設切點坐標是：（m，m²（m-1），
則切線斜率k=3m²-2m，
故切線方程是：y-m²（m-1）=（3m²-2m）（x-m），
將（1，0）代入切線方程得：
-m²（m-1）=（3m²-2m）（1-m），
解得：m=0或m=1，
m=0時，切線方程是：y=0，
m=1時，切線方程是：x-y-1=0；
（2）f（x）=x²（x-a），
f′（x）=2x（x-a）+x²=3x²-2ax=x（3x-2a），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
①$\frac{2a}{3}$≤0時，f′（x）≥0在[0，4]恒成立，
故f（x）在[0，4]遞增，
②0＜$\frac{2a}{3}$＜4時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2a}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{2a}{3}$，
故f（x）在[0，$\frac{2a}{3}$）遞減，在（$\frac{2a}{3}$，4]遞增，
③$\frac{2a}{3}$≥4時，f′（x）≤0在[0，4]恒成立，
故f（x）在[0，4]遞減．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．