Question

10．下列函數中，最小值為2的是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=4^x+2^x，x∈[0，+∞）
• D． y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$

Answer 1

分析 在A中，當x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2；當x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2；在B中，由sinx＜1，知y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值不為2；在C中，當x=0時，y=4^x+2^x取最小值為2；在D中，由$\sqrt{{x}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$，得y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值不是2．

解答 解：在A中，當x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=2，
當且僅當x=$\frac{1}{x}$時，取等號；
當x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=-2，
當且僅當x=$\frac{1}{x}$時，取等號．故A錯誤；
在B中，∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx∈（0，1），
∴y=sinx+$\frac{1}{sinx}$≥$2\sqrt{sinx•\frac{1}{sinx}}$=2，
當且僅當sinx=$\frac{1}{sinx}$，即sinx=1時，取等號，
由sinx＜1，知y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值不為2．故B錯誤；
在C中，∵x∈[0，+∞），∴4^x∈[1，+∞），2^x∈[1，+∞），
∴當x=0時，y=4^x+2^x取最小值為2，故C正確；
在D中，y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$$≥2\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=2，
當且僅當$\sqrt{{x}^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，即$\sqrt{{x}^{2}+2}=1$時取等號，
∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$，∴y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值不是2，故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查函數的最小值的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意均值不等式的性質的合理運用．