Question

已知點(diǎn)M是⊙B：（x+2）²+y²=12上的動點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），線段AM的中垂線交直線MB于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與曲線C交于R，S兩點(diǎn)，D（0，-1），且有|

RD

|=|

SD

|，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)的圖象中的位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡是雙曲線，進(jìn)一步求出方程．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)一步建立直線和曲線的方程，利用|

RD

|=|

SD

|，進(jìn)一步建立等量關(guān)系，利用直線的垂直求出參數(shù)的范圍．

解答： （1）解：已知點(diǎn)M是⊙B：（x+2）²+y²=12上的動點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），線段AM的中垂線交直線MB于點(diǎn)P，
則：|PB|-|PA|=2

3

所以：點(diǎn)p的軌跡是以B、A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支．
由于|AB|=4
即：c=2
|PB|-|PA|=2

3

=2a
解得：a=

3

所以雙曲線的方程為：

x2

3

-y2=1(x＜0)
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與曲線C交于R，S兩點(diǎn)
則：

x2 3 -y2=1 y=kx+m

整理得：（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0（1-3k²≠0）
由于△＞0
解得：m²+1＞3k²①
設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）RS的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀）
所以x1+x2=

6km

1-3k2

，x1x2=

-3m2-3

1-3k2

x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

M（

3km

1-3k2

，

m

1-3k2

）
所以：kMD=

m+1-3k2

3km

|

RD

|=|

SD

|
k_MD•k_RS=-1
所以：k•

m+1-3k2

3km

=-1
解得：4m+1=3k²代入①得：m²+1＞4m+1
解得：m＞4或m＜0
由于3k²=4m+1＞0
所以m＞-

1

4

所以m的取值范圍：-

1

4

＜m＜0或m＞4

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)；雙曲線的定義和方程的確定，直線和雙曲線的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，直線垂直的充要條件，及參數(shù)的范圍的確定．屬于難題．