Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，點E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，BC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱錐P-EFG的體積；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD被平面EFG所截得到的兩部分體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先利用題中的中點找到線線平行進一步利用線面平行的判定定理得出結論．
（Ⅱ）先證明GC⊥平面PCD，進一步轉換∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF．GC，利用相關的線段長求出體積．
（Ⅲ）利用割補法分別求出平面兩邊的體積，最后確定結果．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取AD的中點H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點，
∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F(xiàn)，H，G四點共面．
∵F，H分別為DP，DA的中點，
∴PA∥FH．
∵PA不在平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD為正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
∵PF=

1

2

PD=1  EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF•PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

6

．
（Ⅲ）解：VP-ABCD=

1

3

AB•AD•PD=

8

3

，
采用割補法求被平面EFG所截得到下面的幾何體的體積為：
V₁=V_DFH-GCE=

1

2

×DH×DF×GH-

1

3

×

1

2

×DH×DF×EF=

5

6

，
被平面EFG所截得到上面的幾何體的體積為：V2=

8

3

-

5

6

=

11

6

，

V1

V2

=

5

11

．

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，錐體的體積公式的應用，割補法在幾何題中的應用及相關的運算問題．屬于基礎題型．