Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n≠0，且S_n=a₁（a_n-1）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（II）若b_n=a_n-log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n＞2015成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）∵S_n≠0，且S_n=a₁（a_n-1）．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a₁（a₁-1），解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=a_n-log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ+n．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$．
T₉=1067，T₁₀=2101．
∴使得T_n＞2015成立的正整數(shù)n的最小值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．