Question

6．設(shè){a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=13，a₅+b₃=21．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù){a_nb_n}列前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組，求出公差和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接利用錯(cuò)位相減法求數(shù){a_nb_n}列前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比是q，且q＞0，
等差數(shù)列{b_n}的公差是d，
由a₁=b₁=1，a₃+b₅=13，a₅+b₃=21，得
$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}+1+4d=13}\\{{q}^{4}+1+2d=21}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d=2n-1；
（2）∵a_nb_n=（2n-1）2^n-1，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×2⁰+3×2¹+…+（2n-3）2^n-2+（2n-1）2^n-1．
$2{T}_{n}=1×{2}^{1}+3×{2}^{2}+…+（2n-3）{2}^{n-1}+（2n-1）{2}^{n}$．
兩式作差可得：$-{T}_{n}=1+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-（2n-1）{2}^{n}$=$1+\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（2n-1）{2}^{n}$，
∴${T}_{n}=（n-\frac{3}{2}）{2}^{n+1}+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，涉及到等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和等知識(shí)，是中檔題．