Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2（a＞0）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)都在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程3x²+2ax+1=0的根都在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=3x²+2ax+1，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2（a＞0）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²+2ax+1
則由題意，方程3x²+2ax+1=0的兩個(gè)不等根都在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=3x²+2ax+1，則$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-12＞0\\-1＜-\frac{a}{3}＜1\\ g（-1）＞0\\ g（1）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4{a}^{2}-12＞0\\-1＜-\frac{a}{3}＜1\\ 4-2a＞0\\ 4+2a＞0\end{array}\right.$，
∴$\sqrt{3}$＜a＜2
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2）
故答案為：（$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查方程根的研究，解題的關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程3x²+2ax+1=0的根都在區(qū)間（-1，1）內(nèi)．函數(shù)的零點(diǎn)與根的分布，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．