Question

14．已知方程x²-5x-8=0的兩個根為x₁，x₂，求作一個新的一元二次方程，使它的兩根分別為$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$和$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，求出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$和$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$即可得到結(jié)論．

解答 解：∵方程x²-5x-8=0的兩個根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=-8，
則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{25-2×（-8）}{-8}$=$\frac{25+16}{-8}$=-$\frac{41}{8}$，
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=1．
則以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$和$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$為根的一元二次方程為x²-（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）x+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=0．
即x²+$\frac{41}{8}$x+1=0．

點評 本題主要考查一元二次方程的求解，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．