Question

19．已知$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a^{3}≥81}\\{{a}^{3}b≤81}\end{array}\right.$，z=$\frac{{a}^{2}}$，求z_max．

Answer 1

分析 利用已知條件求出b與a的關(guān)系，利用線性規(guī)劃知識求解即可．

解答 解：z=$\frac{{a}^{2}}$，可得a²=zb，$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a^{3}≥81}\\{{a}^{3}b≤81}\end{array}\right.$，可得ab³≥a³b，可得b≥a≥1，b⁴≥ab³≥81，可得b≥3，a⁴≤a³b≤81，∴a≤3，
$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a≤3\\ 81≥b≥3\end{array}\right.$，
z=$\frac{{a}^{2}}$＞0，可得a²=zb，表示開口向上的拋物線，如圖的陰影部分：
當(dāng)拋物線經(jīng)過可行域的A（3，3）時，z取得最大值，此時z=1．
z_max=3．

點評 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，不等式的簡單性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用、