Question

9．已知一元二次方程x²+ax+b=0的一個根在[-2，-1]內(nèi)，另一個根在[1，2]內(nèi)，使用圖表示出以a，b為坐標(biāo)軸的點（a，b）的存在范圍，并求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²+ax+b，根據(jù)根與系數(shù)之間建立不等式關(guān)系，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+ax+b，
∵元二次方程x²+ax+b=0的一個根在[-2，-1]內(nèi)，另一個根在[1，2]內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（-2）≥0}\\{f（1）≤0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a+b≤0}\\{4-2a+b≥0}\\{1+a+b≤0}\\{4+2a+b≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則以a，b為坐標(biāo)軸的點（a，b）的存在區(qū)域為四邊形ABCD及其內(nèi)部，
設(shè)z=a+b，即b=-a+z，
平移直線b=-a+z，
由圖象知當(dāng)直線b=-a+z經(jīng)過點B（0，-4）時，直線b=-a+z的截距最小，此時z最小，z=0-4=-4，
當(dāng)直線b=-a+z與直線CD：a+b+1=0重合是，直線b=-a+z的截距最大，此時z=-1，
即-4≤z≤-1，
即a+b的取值范圍是[-4，-1]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．