Question

求定點（2a，0）和橢圓

x=4cosθ y=2 3 sinθ

（θ為參數(shù)）上各點連線的中點軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設動點P（x₀，y₀），PB的中點為Q（x，y），由中點坐標公式解出x₀=2x-2a，y₀=2y，將點P（2x-2a，2y）代入已知圓的方程，化簡即可得到所求中點的軌跡方程．

解答： 解：橢圓

x=4cosθ y=2 3 sinθ

（θ為參數(shù)）的普通方程為：

x2

16

+

y2

12

=1，
設動點P（x₀，y₀），PB的中點為Q（x，y），定點（2a，0），
可得x=

1

2

（2a+x₀），y=

1

2

y₀，解出x₀=2x-2a，y₀=2y，
∵點P（x₀，y₀）即P（2x-2a，2y）在橢圓

x2

16

+

y2

12

=1上運動，
∴

(2x-2a)2

16

+

(2y)2

12

=1，化簡得

(x-a)2

4

+

y2

3

=1，
即為所求動點軌跡方程為：

(x-a)2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題給出定點與定曲線，求橢圓上動點與定點連線中點的軌跡方程．著重考查了橢圓的方程與動點軌跡方程求法等知識，屬于中檔題．