Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\sqrt{3}）$，離心率為$\frac{1}{2}$，左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以線段F₁F₂為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，求$\frac{|AB|}{|CD|}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，解出即可．
（Ⅱ）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．求出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，求出|AB|，|CD|可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，
解得b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．
∴則C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$得：7x²+8x-8=0，
解得：x=$\frac{-4-6\sqrt{2}}{7}$，或x=$\frac{-4+6\sqrt{2}}{7}$，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{-4-6\sqrt{2}}{7}$，$\frac{3-6\sqrt{2}}{7}$），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{-4+6\sqrt{2}}{7}$，$\frac{3+6\sqrt{2}}{7}$），
故|AB|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，|CD|=$\sqrt{2}$，
$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，兩點(diǎn)之間的距離公式，難度中檔．