Question

5．已知一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，焦距為$2\sqrt{13}$．一雙曲線和這橢圓有公共焦點(diǎn)，且雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)小4，雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7：3，求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 首先根據(jù)焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上進(jìn)行分類，不妨先設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)題意與橢圓、雙曲線的性質(zhì)列方程組，再解方程組求得焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后把焦點(diǎn)在y軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程補(bǔ)充上即可．

解答 解：①焦點(diǎn)在x軸上，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，c=$\sqrt{13}$
設(shè)雙曲線為$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$，m=a-4，…（5分）
∵$\frac{e_雙}{e_橢}=\frac{7}{3}$，易得a=7，m=3…（7分）
∵橢圓和雙曲線的焦距為$2\sqrt{13}$，∴b²=36，n²=4．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}=1$，雙曲線方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$…（9分）
②焦點(diǎn)在y軸上，橢圓方程為$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{49}=1$，雙曲線方程為$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．