【題目】已知橢圓的離心率,左頂點(diǎn)到直線的距離,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),證明:到直線的距離為定值.
【答案】(1).(2)見解析
【解析】
(1)結(jié)合離心率,計(jì)算出a,b,c之間的關(guān)系,利用點(diǎn)到直線距離,計(jì)算a,b值,即可。(2)分直線AB斜率存在與不存在討論,結(jié)合直線方程和橢圓方程,并利用,計(jì)算O到直線距離,即可.
(1)∵橢圓的離心率,
∴,
∴,
∵,
∴,即,
∵橢圓的左頂點(diǎn)到直線,即到的距離,
∴,
把代入得:,解得:,
∴,,
∴橢圓的方程為.
(2)設(shè),
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由橢圓的性質(zhì)可得:,,
∵當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),
∴,即,也就是,
又∵點(diǎn)在橢圓上, ∴,
∵以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且平行于軸,
∴,∴,解得:
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,
與橢圓方程聯(lián)立有,消去,得
∴,,
同理:,消去,得,
即,∴
∵為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),所以,∴
∴
∴
∴
∴點(diǎn)到直線的距離
綜上所述,點(diǎn)到直線的距離為定值.
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(2)寫出利潤(元)與單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)該商品的銷售價(jià)格為多少元時(shí),周利潤最大?并求出最大周利潤.
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