【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若存在最大值，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）令，，求證：對(duì)任意的，總存在最小值，且.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)可得，分情況進(jìn)行討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由存在最大值，且，解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將代入函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得證.

（1）由于的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)函數(shù)，此時(shí)無(wú)最大值；

當(dāng)時(shí)，由得，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為的極大值點(diǎn).

故，解得：.

綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值.

（2）當(dāng)時(shí)，.

，由于，則，，

并且在上單調(diào)遞增，故存在唯一的，使得，

從而，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.

故函數(shù)存在最小值，結(jié)合即，得

.

綜上得，對(duì)任意的，總存在最小值，且.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，）.在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】皮埃爾·德·費(fèi)馬，法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對(duì)數(shù)學(xué)界做出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若是質(zhì)數(shù)，且互質(zhì)，那么的次方除以的余數(shù)恒等于1，后來(lái)人們稱(chēng)該定理為費(fèi)馬小定理.依此定理若在數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為，另一個(gè)作為，則所取兩個(gè)數(shù)不符合費(fèi)馬小定理的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)了豐富多彩的校本課程，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)班隨機(jī)抽取了5名學(xué)生校本課程的學(xué)分，統(tǒng)計(jì)如下表．

甲

8

11

14

15

22

乙

6

7

10

23

24

用分別表示甲、乙兩班抽取的5名學(xué)生學(xué)分的方差，計(jì)算兩個(gè)班學(xué)分的方差．得______，并由此可判斷成績(jī)更穩(wěn)定的班級(jí)是______班．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：，過(guò)原點(diǎn)作射線(xiàn)交橢圓于，平行四邊形的頂點(diǎn)，在橢圓上.

（1）若射線(xiàn)的斜率為，求直線(xiàn)的斜率；

（2）求證：四邊形的面積為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司在2019年新研發(fā)了一種設(shè)備，為測(cè)試其性能，從設(shè)備生產(chǎn)的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取30件零件作為樣本，測(cè)量其重量后，得到下表的相關(guān)數(shù)據(jù).為了評(píng)判某臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其重量為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）：①；②；評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述兩個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為；僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則等級(jí)為；若全部不滿(mǎn)足，則等級(jí)為.

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.

重量/

18

19

21

22

23

24

26

28

29

30

件數(shù)/個(gè)

1

1

2

2

6

8

5

2

1

2

（1）試判斷設(shè)備的性能等級(jí)；

（2）若或的零件認(rèn)為是次品，其余為非次品.設(shè)30個(gè)樣本中次品個(gè)數(shù)為，現(xiàn)需要從中取出全部次品和2件非次品形成個(gè)小樣本，該公司從該小樣本中機(jī)抽取2件零件，求取出的兩件零件中恰有一件是次品的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.

（1）求曲線(xiàn)C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)A是曲線(xiàn)C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線(xiàn)C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于原點(diǎn)O，且|AB|=4，求α的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）記，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況；

（2）若有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校高一、高二兩個(gè)年級(jí)共336名學(xué)生同時(shí)參與了“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動(dòng).為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試.下表是高二年級(jí)的5名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)/分鐘）：

（1）求高一、高二兩個(gè)年級(jí)各有多少人？

（2）設(shè)某學(xué)生跳繩個(gè)/分鐘，踢毽個(gè)/分鐘.當(dāng)，且時(shí)，稱(chēng)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.

①?gòu)母叨昙?jí)的學(xué)生中任選一人，試估計(jì)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率；

②從高二年級(jí)抽出的上述5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3名學(xué)生中為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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