Question

【題目】已知橢圓：，過原點(diǎn)作射線交橢圓于，平行四邊形的頂點(diǎn)，在橢圓上.

（1）若射線的斜率為，求直線的斜率；

（2）求證：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）將射線方程與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可求得直線斜率；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對稱性可知四邊形為菱形，可求得其面積為；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算可求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得到的關(guān)系；利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式表示出和原點(diǎn)到直線距離，由化簡可得面積為；綜合兩種情況可得結(jié)論.

（1）設(shè)射線的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，

當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)，

四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，

設(shè)，，

，兩式作差得：，

；

當(dāng)時(shí)，同理可求得；

綜上所述：直線的斜率為.

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，四邊形為菱形，且平分，

方程為或，，；

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，

由得：，

則，整理得：，

設(shè)，，則，，

，

四邊形為平行四邊形，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，即，

在橢圓上，，整理得：，

，

又原點(diǎn)到直線距離，；

綜上所述：四邊形的面積為定值.