Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=4sinφ\end{array}\right.（φ為參數(shù)）$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的普通方程；
（2）求曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=4sinφ\end{array}\right.（φ為參數(shù)）$，利用平方關(guān)系可得曲線C的普通方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．
（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（3cosθ，4sinθ），則點(diǎn)P（x，y）到直線l距離d=$\frac{|5sin（θ-φ）+2|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=4sinφ\end{array}\right.（φ為參數(shù)）$，
利用平方關(guān)系可得：曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$．

直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)可得普通方程：x+2=y+4，即x-y-2=0．
（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（3cosθ，4sinθ），
則點(diǎn)P（x，y）到直線l距離d=$\frac{|3cosθ-4sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ-φ）+2|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{7}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)sin（θ-φ）=1時(shí)取等號(hào)，
∴曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到直線l距離的最大值是$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．