Question

在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n-1

，試比較b_n+1與b_n的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，并由條件確定d的范圍，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)、以及題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求出公差和首項(xiàng)后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a_n代入b_n，再求出b_n+1的表達(dá)式，然后作差：b_n+1-b_n各項(xiàng)相消后再化簡(jiǎn)，最后把所得的式子與令進(jìn)行比較，可得b_n+1和b_n的大小關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則d≠0，
由a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比數(shù)列得，

2a1+11d=15                          ① (a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)  ②

，②化為6d²-3da₁=0，
∵d≠0，∴a₁=2d，代入①解得，
d=1，則a₁=2，
所以，a_n=a₁+（n-1）•d=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意得，bn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
則bn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，
∴bn+1-bn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
即b_n+1＞b_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，比較大小時(shí)常用做差法進(jìn)行比較，此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件和公式列出方程組，考查了基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力．