Question

已知向量

a

=（2cosx，-

2

），

b

=（3sinx-cosx，sin（2x+

π

4

）），設(shè)f（x）=

a

•

b

+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[

5π

24

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）先化簡可得f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可求得遞增區(qū)間；
（2）由

5π

24

≤x≤

3π

4

，得

π

6

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，則-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，進而可得f（x）的取值范圍，于是可得最大值、最小值；

解答： 解：f（x）=2cosx（3sinx-cosx）-

2

sin（2x+

π

4

）+1
=3sin2x-2cos²x-sin2x-cos2x+1
=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
（1）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3

8

π]，（k∈Z）；
（2）∵

5π

24

≤x≤

3π

4

，∴

π

6

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，
∴-2≤2

2

sin（2x-

π

4

）≤2

2

，
∴f_min（x）=-2，f_max（x）=2

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積運算、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，具有一定的綜合性，熟記相關(guān)知識是解決問題的基礎(chǔ)．