Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²+alnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：“0＜a＜

4

9

”是函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)的必要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)必要條件的定義及函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)情況即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=（x-1）²+alnx，a∈R．
∴f′（x）=2（x-1）+

a

x

=

2x2-2x+a

x

（x＞0），
當(dāng)△≤0，即a≥

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)△＞0，且a≤0，即a≤0時(shí)，由f′（x）=0得x=

1+ 1-2a

2

，
∴f（x）在（0，

1+ 1-2a

2

）單調(diào)遞減，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)△＞0，a＞0，即0＜a＜

1

2

時(shí)，由f′（x）=0得x=

1± 1-2a

2

，
∴f（x）在（0，

1- 1-2a

2

）遞增，在（

1- 1-2a

2

，

1+ 1-2a

2

）遞減，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）遞增；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則必有0＜a＜

1

2

，即f（x）在（0，

1- 1-2a

2

）遞增，
在（

1- 1-2a

2

，

1+ 1-2a

2

）遞減，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）遞增；
∵x→0，f（x）→-∞，且f（1）=0（1＞

1+ 1-2a

2

），故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，必有f（

1- 1-2a

2

）＞0，
令x₁=

1- 1-2a

2

，2x₁-2

x

2 1

=a（0＜x₁＜

1

2

），
f（x₁）=（x₁-1）²+alnx₁=（x₁-1）²+（2x₁-2

x

2 1

）lnx₁=（1-x₁）（1-x₁+2x₁lnx₁），
令g（x）=1-x+2xlnx（0＜x＜

1

2

），
g′（x）=2lnx+1，g′（x）=0，x=

1

e

＞

1

2

，
∴g（x）在（0，

1

2

）遞減，又g（

1

e2

）＞0，g（

1

3

）＜0，
∴存在x₀，使g（x₀）=0，且0＜x₀＜

1

3

，
∴f（x₁）＞0?0＜x₁＜x₀，∴0＜x₁＜

1

3

，
∴由a=2x₁-2

x

2 1

=-2(x1-

1

2

)2+

1

2

，
∴0＜a＜2×

1

3

-2×（

1

3

）²=

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)零點(diǎn)的情況及必要條件的證明等知識(shí)，考查學(xué)生的劃歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的運(yùn)用能力、運(yùn)算能力，屬難題．