Question

4．已知點P（-2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，過點P作圓O：x²+y²=2的切線，切點為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點F，則a²+b²的值是（　�。�

• A． 13
• B． 14
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 由題意，以OP為直徑的圓的方程為（x+1）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{4}$）²=$\frac{15}{8}$，與圓O：x²+y²=2相減，可得直線AB的方程，求出c，再利用點P（-2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，求出a²=8，b²=7，即可求出a²+b²的值．

解答 解：由題意，以OP為直徑的圓的方程為（x+1）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{4}$）²=$\frac{15}{8}$．
與圓O：x²+y²=2相減，可得直線AB的方程為2x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$y+2=0，
令y=0，可得x=-1，∴c=1，
∵$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{\frac{7}{2}}{^{2}}$=1，∴a²=8，b²=7，
∴a²+b²=8+7=15，
故選C．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．