Question

16．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f′（x）＜1，則不等式f（1g²x）＜1g²x的解集為（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{10}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$
• C． $（{\frac{1}{10}，10}）$
• D． （10，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∵g（1）=f（1）-1=0，
∴若g（x）＜0，
即g（x）＜g（1），則x＞1，
則不等式f（1g²x）＜1g²x等價(jià)為f（1g²x）-1g²x＜0，
即g（1g²x）＜0，
則1g²x＞1，
則lgx＞1或lgx＜-1，
解得x＞10或0＜x＜$\frac{1}{10}$，
故不等式的解集為$（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．