Question

已知函數(shù)數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，則s_n=n²+n，可得a_n=S_n-S_n-1=n+1，并驗(yàn)證a₁即可；
（2）證明：由c_n=+＞2，得c₁+c₂+…+c_n＞2n；由c_n=+=2+-，得c₁+c₂+…+c_n=2n+（-+-+…+-）=2n+-＜2n+；即證．
解答：解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+1，a₁也適合，所以a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）證明：∵，∴c₁+c₂+…+c_n＞2n；
又c_n=+=2+-，∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（-+-+…+-）=2n+-＜2n+；
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)運(yùn)用了數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，應(yīng)用基本不等式，拆項(xiàng)法等證明不等式成立，屬于中檔題．