Question

如圖，在四棱錐V-ABCD中，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，已知底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為

5

的等腰三角形，
（1）求二面角V-BC-A的平面角的大小．
（2）求點(diǎn)O到平面VBC的距離；
（3）求V_V-ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BC的中點(diǎn)E，連接EO，VE，VO，由正四棱錐的性質(zhì)易得∠VEO為二面角V-BC-A的平面角，
（2）過(guò)O作OF⊥VE于F，即得點(diǎn)O到平面VBC的距離的大小．
（3）求出高VO，根據(jù)四棱錐的體積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）取BC的中點(diǎn)E，連接EO，VE，VO，則由題意可知VE⊥BC且OE⊥BC，
∴∠VEO為二面角V-BC-A的平面角，
∵VA=VB=VC=VD=

5

，O是底面正方形ABCD的中心，
∴VO⊥平面ABCD
Rt△VEO中，DE=1，BE=1，VE=2
可得∠VEO=60°
∴二面角V-BC-A的大小為60°
（2）設(shè)點(diǎn)O到平面VBC的距離為h，
過(guò)O作OF⊥VE于F，
則OF⊥平面VBC，
即OF是點(diǎn)O到平面VBC的距離，
則Rt△VEO中，OF=OEsin60°=

3

2

．
（3）由（2）知，VO=

VE2-OE2

=

4-1

=

3

，
故V_V-ABCD=

1

3

×22×

3

=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱錐，求側(cè)面與底面所成角的大小，并求底面中心到一個(gè)側(cè)面的距離，著重考查了二面角的平面角及求法和點(diǎn)到平面距離求法等知識(shí)，屬于中檔題．