Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊的中點(diǎn)，沿AE將AD折起，使二面角D-AE-B為60°，則異面直線(xiàn)BC與AD所成的角余弦值為（　�。�

• A、

  7

  13

• B、

  3

  3

• C、

  2

  3

• D、

  6

  13

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：

分析：如圖所示，求出DG、AG、FH、DG、HF、HE的值，根據(jù)

AD

•

BC

=（

AG

+

GD

）•（

FH

+

HE

），利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求出異面直線(xiàn)BC與AD所成的角余弦值．

解答： 解：如圖所示：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，則EF平行且等于BC．
作DG⊥AE，G為垂足，G∈AE，則DG=

DA•DE

AE

=

6

13

，
AG=

AD2-DG2

=

9

13

，

AD

=

AG

+

GD

．
作FH⊥AE，H為垂足，H∈AE，則FH=

FE•FA

AE

=

6

13

，
EH=

EF2-FH2

=

9

13

，

BC

=

FE

=

FH

+

HE

．
∴

AD

•

BC

=（

AG

+

GD

）•（

FH

+

HE

）=

AG

•

FH

+

AG

•

HE

+

GD

•

FH

+

GD

•

HE

．
由二面角D-AE-B為60°，以及作圖過(guò)程可得，

AG

⊥

FH

，

AG

和

HE

方向相同，

GD

 和

FH

的夾角為120°，

GD

⊥

HE

，
設(shè)面直線(xiàn)BC與AD所成的角為θ，則3×3×cosθ=0+

9

13

•

9

13

+

6

13

•

6

13

cos120°+0，
求得cosθ=

7

13

，即異面直線(xiàn)BC與AD所成的角余弦值為

7

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，用向量表示二面角的平面角，屬于中檔題．