Question

15．已知⊙C的圓心坐標(biāo)是（-1，3），且圓C與直線x+y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，又OP⊥OQ，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出圓的一般方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，即可求出D、E．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)適合圓的方程，由韋達(dá)定理求出y₁+y₂，y₁y₂，利用OP⊥OQ，求出F，即可得到圓的方程．

解答 解：設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵⊙C的圓心坐標(biāo)是（-1，3），
∴D=2，E=-6，
∴圓方程為x²+y²+2x-6y+F=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x+y-3=0與x²+y²+2x-6y+F=0聯(lián)立，
消去x得，2y²-14y+15+F=0，
由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=7，y₁y₂=$\frac{15+F}{2}$
∴x₁x₂=（-y₁+3）（-y₂+3）=y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=$\frac{F-9}{2}$
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{15+F}{2}$+$\frac{F-9}{2}$=0，
∴F=3
故所求圓的方程為x²+y²+2x-6y+3=0．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程的求法，圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．