Question

10．設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=2-2S_n；數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=10，a₇=14．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{4}$a_nb_n，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差d，代入通項(xiàng)公式得出a_n，利用b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$證明{b_n}為等比數(shù)列，從而得出b_n；
（2）利用錯位相減法求出T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則$d=\frac{{{a_7}-{a_5}}}{2}=2$，
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n，
∵b_n=2-2S_n，
當(dāng)n=1，則b₁=2-2b₁，解得${b_1}=\frac{2}{3}$．
當(dāng)n≥2時，由b_n=2-2S_n，∴b_n-1=2-2S_n-1，
∴b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．∴$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$．
∴{b_n}是以${b_1}=\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴${b_n}=2•\frac{1}{3^n}$．
（2）${c_n}=\frac{1}{4}{a_n}{b_n}=\frac{1}{4}•2n•\frac{2}{3^n}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{3}+2•\frac{1}{3^2}+3•\frac{1}{3^3}+…+n•\frac{1}{3^n}$，①
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\;1•\frac{1}{3^2}+2•\frac{1}{3^3}+…+（n-1）•\frac{1}{3^n}+n•\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-n•\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{6}\frac{1}{3^n}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4}•\frac{1}{3^n}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的判斷與錯位相減法求和，屬于中檔題．