Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

2

-kx，其中k為常數(shù)．
（1）當(dāng)k=3時(shí)，求不等式f（x）＜x的解集；
（2）當(dāng)k變化時(shí)，討論關(guān)于x的不等式f（x）+

x

2

＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=3時(shí)，即 x（x-8）＜0，解此一元二次不等式求得它的解集．
（2）當(dāng)k變化時(shí)，關(guān)于x的不等式即 x[x-（2k-1）]＜0，討論2k-1和0的大小關(guān)系，解一元二次不等式求得它的解集．

解答： 解：（1）當(dāng)k=3時(shí)，不等式即

x2

2

-3x＜x，即 x（x-8）＜0，解得0＜x＜8，
故不等式的解集為（0，8）．
（2）當(dāng)k變化時(shí)，關(guān)于x的不等式即

x2

2

-kx+

x

2

＜0，即 x[x-（2k-1）]＜0．
當(dāng)2k-1=0時(shí)，即k=

1

2

，不等式即 x²＜0，無解．
當(dāng)2k-1＞0時(shí)，即k＞

1

2

，不等式的解集為 （0，2k-1）．
當(dāng)2k-1＜0時(shí)，即k＜

1

2

，不等式的解集為 （2k-1，0）．
綜上可得，k=

1

2

時(shí)，不等式無解；k＞

1

2

時(shí)，不等式的解集為（0，2k-1）；
k＜

1

2

，不等式的解集為（2k-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．