【題目】已知橢圓，且橢圓C上恰有三點(diǎn)在集合中.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值.如果是，請(qǐng)求出定值：如果不是，請(qǐng)明說理由.

（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）點(diǎn)O到直線AB的距離為定值（3）

【解析】

（1）利用橢圓的對(duì)稱性得橢圓必過和，結(jié)合橢圓過點(diǎn)，求得的值，從而得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，，對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)為，

由得，代入點(diǎn)到直線的距離公式可得答案；

（3）將弦表示成關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面積公式，求得三角形面積的最大值.

（1）和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故由題意知，橢圓C必過此兩點(diǎn)

，又當(dāng)橢圓過點(diǎn)時(shí)，，∴，

此時(shí)滿足，符合題意.

所以橢圓.

又當(dāng)橢圓過點(diǎn)時(shí)，，∴，

此時(shí)，不符合題意.

綜上：橢圓.

（2）設(shè)，，若斜率存在，則設(shè)直線，

由，得，

，

由知，

，

代入得，

又原點(diǎn)到直線AB的距離，

且當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，，可得，依然成立.

所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

（3）由（2）知，

由（2）知，，

；

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

所以；

易知當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，，所以，

綜上得的面積的最大值為.

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（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若.①當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

②證明是定值，并求出此定值.

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【題目】出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的.在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)、定義它們之間的一種“距離”（“直角距離”）：，請(qǐng)解決以下問題：

（1）求線段（，）上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“距離”；

（2）求所有到定點(diǎn)的“距離”均為2的動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形的周長(zhǎng)；

（3）在“歐式幾何學(xué)”中有如下三個(gè)與“距離”有關(guān)的正確結(jié)論：

①平面上任意三點(diǎn)A，B，C，；

②平面上不在一直線上任意三點(diǎn)A，B，C，若，則是以為直角三角形

③平面上存在兩個(gè)不同的定點(diǎn)A，B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是的垂直平分線

上述結(jié)論對(duì)于“出租車幾何學(xué)”中的直角距離是否還正確，并說明理由.

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B. 由于丙企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模大，所以它的其他費(fèi)用開支所占成本的比重也最大

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產(chǎn)品：

投資結(jié)果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

產(chǎn)品：

投資結(jié)果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

注：

（1）若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品投資，一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若丙要將20萬元人民幣投資其中一種產(chǎn)品，以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù)，則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想.

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