Question

已知函數(shù)f（x）=

x2-x+1

x-1

(x≥2)，g(x)=ax（a＞1，x≥2）．
①若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

；
②若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求則實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②求出兩個(gè)函數(shù)的最值，根據(jù)最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：①f（x）=

x2-x+1

x-1

=

(x-1)2+(x-1)+1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1，
當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則f（x）≥f（2）=3，
若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，
則m≥3，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，+∞）；
②g（x）=a^x，若a＞1，則g（x）為增函數(shù)，當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）≥a²，
若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
則a²x≤3，解得1＜a≤

3

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （1，

3

]，
故答案為：[3，+∞）； （1，

3

]

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．