Question

16．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖象如圖所示：
（1）求出函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)x為何值時，y取最大值？當(dāng)x取何值時，y取零？

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的增區(qū)間．
（3）利用正弦函數(shù)的最大值和零點，求得當(dāng)x為何值時，y取最大值？當(dāng)x取何值時，y取零．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖象，可得A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=3+1，∴ω=$\frac{π}{4}$，
再根據(jù)五點法作圖可得$\frac{π}{4}$•（-1）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{4}$，∴y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得8k-3≤x≤8k+1，
故函數(shù)的增區(qū)間為[8k-3，8k+1]，k∈Z．
（3）當(dāng)$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時，即x=8k+1時，y取得最大值為2；
當(dāng)$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=kπ時，即x=4k-1時，y=0．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性及零點，屬于中檔題．