Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期為$\frac{π}{2}$，其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{8}$，-1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，試用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的簡圖；

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，可得A=2，
最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4，∴f（x）=2sin（4x+φ），
∵其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{8}$，-1），可得2sin（$\frac{π}{2}$+φ）=-1，即 sin（$\frac{π}{2}$+φ）=cosφ=-$\frac{1}{2}$，
∴φ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或φ=2kπ+$\frac{4π}{3}$．
再結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{2π}{3}$，f（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）．
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin[4（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{2π}{3}$]=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，
得到函數(shù)g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的簡圖：
令t=2x+$\frac{π}{6}$，則t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，列表：

2x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$
g（x）	-1	0	2	0	-2	-1

作圖：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，還考查了用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖，屬于中檔題．