【題目】已知函數(shù)(
,
),曲線
在
處的切線方程為
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)已知滿足的常數(shù)為
.令函數(shù)
(其中
是自然對數(shù)的底數(shù),
),若
是
的極值點,且
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1),
.(2)詳見解析;(3)
【解析】試題分析:
(1)由導函數(shù)與切線方程的關(guān)系可得,
.
(2)利用題意構(gòu)造新函數(shù)
,結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得
;
(3)由題意,
當時,
無極值,不符合題意;
當時,
是函數(shù)
的唯一極值點,也是它的唯一最大值點,可得
.
由題意考察函數(shù),可得
的取值范圍是
.
試題解析:
(Ⅰ)的導函數(shù)
,
由曲線在
處的切線方程為
,知
,
,
所以,
.
(Ⅱ)令
,則
,
當時,
,
單調(diào)遞減;當
時,
,
單調(diào)遞增,
所以,當時,
取得極小值,也即最小值,該最小值為
,
所以,即不等式
成立.
(Ⅲ)函數(shù)(
),則
,
當時,
,函數(shù)
在
內(nèi)單調(diào)遞增,
無極值,不符合題意;
當時,由
,得
,
結(jié)合,
在
上的圖象可知,關(guān)于
的方程
一定有解,其解為
(
),且當
時,
,
在
內(nèi)單調(diào)遞增;當
時,
,
在
內(nèi)單調(diào)遞減.
則是函數(shù)
的唯一極值點,也是它的唯一最大值點,
也是
在
上的唯一零點,即
,則
.
所以
.
由于恒成立,則
,即
,(*)
考察函數(shù),則
,
所以為
內(nèi)的增函數(shù),且
,
,
又常數(shù)滿足
,即
,
所以, 是方程
的唯一根,
于是不等式(*)的解為,
又函數(shù)(
)為增函數(shù),故
,
所以的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:若兩個橢圓的離心率相等,則稱兩個橢圓是“相似”的.如圖,橢圓與橢圓
是相似的兩個橢圓,并且相交于上下兩個頂點.橢圓
的長軸長是4,橢圓
短軸長是1,點
分別是橢圓
的左焦點與右焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線交橢圓
于點
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別為棱AB、AD的中點.
(1)求證:EF平行平面CB1D1;
(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1
(3)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓:
過圓上任意一點
向
軸引垂線垂足為
(點
、
可重合),點
為
的中點.
(1)求的軌跡方程;
(2)若點的軌跡方程為曲線
,不過原點
的直線
與曲線
交于
、
兩點,滿足直線
,
,
的斜率依次成等比數(shù)列,求
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐,側(cè)面
是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面
是
的菱形,
為棱
上的動點,且
.
(I)求證: 為直角三角形;
(II)試確定的值,使得二面角
的平面角余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是等比數(shù)列,數(shù)列
是等差數(shù)列,且
,
,
,
.
求(Ⅰ)求的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若如圖為某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖,則其正視圖的面積為 ,三棱錐D﹣BCE的體積為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A=(2,4),B=(a,3a)
(1)若AB,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若A∩B≠,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,則輸出
的值為 ( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. B.
C.
D.
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