Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設α，β∈[0，]，f（+）=，f（）=，求sin（α+β）的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x
=（cos2x+sin2x）=sin（2x+）…（3分）
由振幅的意義可得，函數(shù)f（x）的最大值為…（4分）
最小正周期T==π…（5分）
（2）∵f（+）=sin（2（）+）=sin（）=cosα=，
∴cosα=，又因為α∈[0，]，∴sinα=…（8分）
同理可得f（+π）=sin（2（）+）=sin（）=，…（9分）
又因為β∈[0，]，∴∈[，]，∴=，解得β=…（11分）
∴sin（α+β）=sin（）=sinαcos+cosαsin=…（12分）
分析：（1）由三角函數(shù)的運算可得f（x）=sin（2x+），易得最值和周期；
（2）由題意可得cosα=，進而可得sinα=，同理可得β=，進而可得sin（α+β）=sin（），代入數(shù)值計算即可．
點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，涉及函數(shù)的周期和最值的求解，屬中檔題．