Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$，且f（x）的圖象在x=1處與直線y=2相切．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若P（x₀，y₀）為f（x）圖象上的任意一點，直線l與f（x）的圖象切于P點，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導公式和法則求出f′（x），根據(jù)題意和導數(shù)的幾何意義列出方程組，求出a、b的值即可求出f（x）；
（2）由（1）求出f′（x），由導數(shù)的幾何意義得直線l的斜率k=f′（x₀），利用分離常數(shù)法化簡，利用換元法和二次函數(shù)的性質求出k的最小值和最大值，可得k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=$\frac{（ax）′（{x}^{2}+b）-ax（{x}^{2}+b）′}{{（x}^{2}+b）^{2}}$
=$\frac{a（{x}^{2}+b）-2a{x}^{2}}{{{（x}^{2}+b）}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+ab}{{{（x}^{2}+b）}^{2}}$，
因為f（x）的圖象在x=1處與直線y=2相切，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=\frac{-a+ab}{{（1+b）}^{2}}=0}\\{f（1）=\frac{a}{1+b}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=1}\end{array}\right.$，
則$f（x）=\frac{4x}{{x}^{2}+1}$；
（2）由（1）可得，f′（x）=$\frac{-4{x}^{2}+4}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
所以直線l的斜率k=f′（x₀）=$\frac{-4{{x}_{0}}^{2}+4}{{{（{x}_{0}}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{-4（{{x}_{0}}^{2}+1）+8}{{{（{x}_{0}}^{2}+1）}^{2}}$
=-4•$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+1}$+$\frac{8}{{{（{x}_{0}}^{2}+1）}^{2}}$，
設t=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+1}$，則t∈（0，1]，
所以k=4（2t²-t）=8（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
則在對稱軸t=$\frac{1}{4}$處取到最小值$-\frac{1}{2}$，在t=1處取到最大值4，
所以直線l的斜率k的取值范圍是[$-\frac{1}{2}$，4]．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，求導公式和法則，以及二次函數(shù)的性質，考查分離常數(shù)法、換元法的應用，屬于中檔題．