Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．由曲線C₁：y²=x上的點(diǎn)（x，y）按坐標(biāo)變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x-\frac{1}{2}}\\{y′=\sqrt{2}y}\\{\;}\end{array}\right.$得到曲線C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若射線θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）和θ=π與曲線C₂的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出x，y代入C₁，從而求出曲線C₂的普通方程，再求出極坐標(biāo)方程即可；
（Ⅱ）分別求出A，B的極坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）$\left\{\begin{array}{l}{x′=x-\frac{1}{2}}\\{y′=\sqrt{2}y}\\{\;}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x{=x}^{′}+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}y′}\end{array}\right.$，
代入C₁：y²=-x，得：y^′2=2x′+1，
即曲線C₂的方程是y²=2x+1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴C₂的極坐標(biāo)方程是ρ²sin²θ=2ρcosθ+1，
即ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$；
（Ⅱ）將θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）代入ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$，解得：ρ=2，
即|OA|=2，A（2，$\frac{π}{3}$），
θ=π代入ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$，解得ρ=$\frac{1}{2}$，
即|OB|=$\frac{1}{2}$，B（$\frac{1}{2}$，π），
∴|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+\frac{1}{4}-2cos（π-\frac{π}{3}）}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程/直角坐標(biāo)方程間的轉(zhuǎn)化，考查兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．