Question

20．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x．下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
• C． f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$
• D． f（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用平方關(guān)系、二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)解析式，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x∈[0，π]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷A；由余弦函數(shù)的奇偶性、圖象的對(duì)稱性判斷B；由周期公式求出函數(shù)f（x）的周期可判斷C；由余弦函數(shù)的值域判斷D．

解答 解：由題意得，f（x）=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，
A、由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x∈[0，π]，則f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，A正確；
B、函數(shù)f（x）=cos2x是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B不正確；
C、函數(shù)f（x）=cos2x的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，C不正確；
D、由-1≤cos2x≤1得，f（x）=cos2x的值域是[-1，1]，D不正確，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性以及值域，三角函數(shù)的周期公式，以及平方關(guān)系、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)與公式是解題的關(guān)鍵．