Question

橢圓C₂的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

2

2

，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，拋物線C₁的方程為y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)F與拋物線的一個(gè)頂點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓C₂和拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線交拋物線C₁于不同兩點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)N，已知

NA

=λ₁

AF

，

NB

=λ₂

BF

，求λ₁+λ₂的值．
（Ⅲ）直線l交橢圓C₂于不同兩點(diǎn)P，Q，P，Q在x軸上的射影分別為P′，Q′，滿足

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

+1=0（O為原點(diǎn)），若點(diǎn)S滿足

OS

=

OP

+

OQ

，判定點(diǎn)S是否在橢圓C₂上，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率為

2

2

，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，求出幾何量，可得求橢圓C₂和拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

NA

=λ₁

AF

，

NB

=λ₂

BF

，從而可求λ₁、λ₂的值，即可得解；
（Ⅲ）設(shè)P，Q的坐標(biāo)，利用

OS

=

OP

+

OQ

，確定S的坐標(biāo)，利用

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

+1=0及P，Q在橢圓上，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，橢圓離心率為

2

2

，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，
∴

c

a

=

2

2

，bc=1，
∵a²=b²+c²，
∴解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C₂的方程是x2+

y2

2

=1．
由此可知拋物線C₁的焦點(diǎn)為F（1，0），得p=2，
∴拋物線C₁：y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）由題意知，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則N（0，-k）
直線與拋物線聯(lián)立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
由

NA

=λ₁

AF

，

NB

=λ₂

BF

，得λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂
整理得λ₁=

x1

1-x1

，λ₂=

x2

1-x2

可得λ₁+λ₂=

x1+x2-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=-1．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則P′（x₃，0），Q′（x₄，0），
∵

OS

=

OP

+

OQ

，∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

+1=0，
∴2x₃x₄+y₃y₄=-1①
∵P，Q在橢圓上，∴x32+

y32

2

=1②，x42+

y42

2

=1③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+

(y3+y4)2

2

=1
∴點(diǎn)S在橢圓C₂上．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用向量知識(shí)求解．