Question

2．設(shè)0＜x₁＜x₂＜x₃＜π，證明：$\frac{sin{x}_{1}-sin{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx，由f′（x）在（0，π）上是減函數(shù)，得出存在點(diǎn)ξ∈（x₁，x₂），使f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
η∈（x₂，x₃），使f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$，再由f′（x）的遞減性即得所證．

解答 證明：設(shè)函數(shù)f（x）=sinx，則f′（x）=cosx在（0，π）上是減函數(shù)；
∵f（x）在（x₁，x₂）上可導(dǎo)，在[x₁，x₂]上連續(xù)，
∴由拉格朗日中值定理知，
存在一點(diǎn)ξ∈（x₁，x₂），使得f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
同理，存在一點(diǎn)η∈（x₂，x₃），使得f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$；
又ξ＜η，利用f′（x）的遞減性知，
f′（ξ）＞f′（η），
∴$\frac{sin{x}_{1}-sin{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．