Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：
（1）對?x∈R，函數(shù)y=f（x）的導數(shù)f′（x）＜0恒成立；
（2）函數(shù)y=f（x+2）的圖象關于點（-2，0）對稱．
（3）對?x，y∈R，有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，則當0＜x＜4時，x²+y²的取值范圍是多少？

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質及應用,直線與圓

分析：依題意，知y=f（x）為R上的單調遞減的奇函數(shù)，且滿足（x-4）²+（y-3）²＜4，作出圖形，利用x²+y²的幾何意義可求得當0＜x＜4時，x²+y²的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x+2）的圖象關于點（-2，0）對稱，
∴y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即y=f（x）為奇函數(shù)；
又對?x∈R，函數(shù)y=f（x）的導數(shù)f′（x）＜0恒成立，
∴y=f（x）為R上的減函數(shù)；
∵?x，y∈R，有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，
∴f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）
∴6y-y²＞x²-8x+21，
∴（x-4）²+（y-3）²＜4．
作圖如下：

∵x²+y²的幾何意義為圓內的點到坐標原點O（0，0）的距離的平方，
當0＜x＜4時，由圖可知，點M（4，5）到原點的距離最大，|MO|²=5²+4²=41；
點N到原點O的距離最小，|NO|=5-2=3，|NO|²=9，
∴x²+y²的取值范圍是（9，41）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性及導數(shù)的應用，著重考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)形結合思想與等價轉化思想的綜合應用，屬于難題．