Question

10．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：
（1）若ab＞cd，則$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtndrk8dy$；
（2）$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt3hjo0nu$是|a-b|＜|c-d|的充要條件．

Answer 1

分析 （1）運用不等式的性質(zhì)，結(jié)合條件a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得證；
（2）從兩方面證，①若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtedkdd0s$，證得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，證得$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtfcn26da$，注意運用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）由于（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，
（$\sqrt{c}$+$\sqrt8kumycj$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，ab＞cd，
則$\sqrt{ab}$＞$\sqrt{cd}$，
即有（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrturf0rqj$）²，
則$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtpavjm6r$；
（2）①若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtqy3a0cj$，則（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt02huoid$）²，
即為a+b+2$\sqrt{ab}$＞c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a+b=c+d，則ab＞cd，
于是（a-b）²=（a+b）²-4ab，
（c-d）²=（c+d）²-4cd，
即有（a-b）²＜（c-d）²，即為|a-b|＜|c-d|；
②若|a-b|＜|c-d|，則（a-b）²＜（c-d）²，
即有（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd，
由a+b=c+d，則ab＞cd，
則有（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrtyvx0350$）²．
綜上可得，$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtfeauojq$是|a-b|＜|c-d|的充要條件．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查不等式的性質(zhì)的運用，同時考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．