Question

給出下列命題：
①?α∈R，使得sin3α=3sinα；
②?k∈R，曲線

x2

16-k

-

y2

k

=1表示雙曲線；
③?a∈R⁺，y=ae^xx²的遞減區(qū)間為（-2，0）； 
④?a∈R，對(duì)?x∈R，使得x²+2x+a＜0．
其中真命題為

 

（填上序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對(duì)于①：顯然當(dāng)α=0時(shí)，等式成立，由此對(duì)①進(jìn)行判斷；
對(duì)于②：舉個(gè)反例即可，如k=-1時(shí)，表示橢圓，則②不正確；
對(duì)于③：先利用導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再進(jìn)行判斷；
對(duì)于④：結(jié)合y=x²+2x+a的圖象可知，其開口向上且無限延展，由此可知④假命題．

解答： 解：對(duì)于①：當(dāng)a=0時(shí)，結(jié)論顯然成立，故①是真命題；
對(duì)于②：當(dāng)k=-1時(shí)，曲線表示了橢圓，因此不可能對(duì)任意的a∈R，都有結(jié)論成立，故②假命題；
對(duì)于③：由y=ae^xx²，得y′=ae^x（x+2），令y′＜0，得x＜-2，故原函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，-2]，故③假命題；
對(duì)于④：y=x²+2x+a的圖象可知，其開口向上且無限延展，因此不會(huì)對(duì)所有的x∈R都滿足小于零恒成立，故④假命題．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題的第③問涉及到了概念問題，要對(duì)函數(shù)在“某某區(qū)間上單調(diào)遞減與函數(shù)的遞減區(qū)間是區(qū)分開來”．