Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），變形為a_n+1=3（a_n-1+1），即可證明；
（2）由（1）可得：a_n=3ⁿ-1．由b_n=log₃（a_n+1），可得b_n=$lo{g}_{3}（{3}^{n}+1-1）$=n．a(chǎn)_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n．利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
∴數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3；
（2）解：由（1）可得：a_n=3ⁿ-1．
∵b_n=log₃（a_n+1），∴b_n=$lo{g}_{3}（{3}^{n}+1-1）$=n．
∴a_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n．
令T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題