Question

4．在二項式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;n}}$的展開式中，恰好第五項的二項式系數(shù)最大．
（1）求展開式中各項的系數(shù)和；
（2）求展開式中的有理項．

Answer 1

分析 （1）在展開式中，由恰好第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式有9項，可得n=8．在二項式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;8}}$中，令x=1，求得展開式中各項的系數(shù)和．
（2）再二項式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;n}}$的展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)$\frac{8-4r}{3}$為整數(shù)，求得r的值，可得展開式中的有理項．

解答 解：（1）在展開式中，恰好第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式有9項，∴n=8．
在二項式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;8}}$中，令x=1，展開式中各項的系數(shù)和為${（{1-\frac{1}{2}}）^8}=\frac{1}{256}$．  
（2）二項式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;n}}$的展開式的通項公式為　${T_{r+1}}=C_{\;8}^{\;r}{（\root{3}{x}）^{8-r}}{（-\frac{1}{2x}）^r}={（-\frac{1}{2}）^r}C_8^r{x^{\frac{8-4r}{3}}}$，r=0，1，2，…，8．
當$\frac{8-4r}{3}$為整數(shù)，即r=2，5，8時，展開式是有理項，有理項為第3、6、9項，
即${T_3}={（{-\frac{1}{2}}）^2}•C_8^2•{x^0}=7$；${T_6}={（{-\frac{1}{2}}）^5}•C_8^5•{x^{-4}}=-\frac{7}{4}{x^{-4}}$；${T_9}={（{-\frac{1}{2}}）^8}•C_8^8•{x^{-8}}=-\frac{1}{264}{x^{-8}}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．