Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，則函數(shù)f（x）的最小正周期為π，將f（x）圖象向左平移φ（$\frac{π}{2}$＜φ＜π）個單位長度后得到函數(shù)為偶函數(shù)，則φ=$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函數(shù)周期公式即可求得f（x）的最小正周期，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得平移后的函數(shù)解析式，利用偶函數(shù)的性質(zhì)可得2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，結合φ的范圍即可得解函數(shù)φ的值．

解答 解：∵f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（$\frac{π}{2}$＜φ＜π）個單位，所得的圖象對應的函數(shù)為y=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$），
再由y=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù)，可得：2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，
∵$\frac{π}{2}$＜φ＜π，
∴φ=$\frac{7π}{12}$．
故答案為：π，$\frac{7π}{12}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)周期公式的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．