Question

4．已知A，B，C是斜三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，求證：
（1）tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{B}{2}$tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=1；
（2）tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C．

Answer 1

分析 （1）提取公因式由兩角和的正切公式變式進(jìn)行證明即可得解，兩角和的正切公式有二個(gè)變式，應(yīng)合理選擇．
（2）由三角形內(nèi)角和定理可得2C=360°-（2A+2B），利用誘導(dǎo)公式，兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)整理即可得解．

解答 證明：（1）左邊=tan$\frac{B}{2}$（tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{C}{2}$）+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$
=tan$\frac{B}{2}$tan（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）（1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$）+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$
∵在△ABC中，$\frac{B}{2}$+$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$=90°，
∴tan$\frac{B}{2}$tan（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）=1，
∴左邊=1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=1，
∴左邊=右邊，得證．
（2）∵A+B+C=180°，可得：2C=360°-（2A+2B），
∴tan2C=-tan（2A+2B）=-$\frac{tan2A+tan2B}{1-tan2Atan2B}$，
整理可得：tan2C-tan2Atan2Btan2C=-tan2A-tan2B，
∴tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C．得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正切公式的變形及誘導(dǎo)公式，三角形內(nèi)角和定理在三角函數(shù)恒等式證明中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．