Question

已知函數(shù)f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，
（1）若m＞0，求f（x）在（-m，m）上遞增的充要條件；
（2）若f（x）≤sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

對(duì)任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）運(yùn)用奇偶性求出m的值，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷，（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1

2

cos2x+

2

，
利用任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x，得g（x）∈[

2

-1，

2

+1]，即f（x）≤

2

-1，求解f（x）最大值即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即n=0，
f（x）=

mx

x2+2

，
f′（x）=

m(2-x2)

(x2+2)2

≥0，m＞0
即2-x²≥0，[-

2

，

2

]
∵f（x）在（-m，m）上遞增，
∴（-m，m）⊆[-

2

，

2

]
f（x）在（-m，m）上遞增的充要條件是m=

2

（2）令g（x）=sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1

2

cos2x+

2

，
∵任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x，∴g（x）∈[

2

-1，

2

+1]，
∵若f（x）≤sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

對(duì)任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x恒成立，
∴f（x）≤

2

-1，
∵f（x）=

m

x+ 2 x

，
根據(jù)均值不等式可得；-

m

2

≤f（x）≤

m

2

，
所以只需

m

2

≤

2

-1，m≤2-

2

實(shí)數(shù)m的取值范圍：m≤2-

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式在求解值域中的應(yīng)用，運(yùn)用恒成立問題和最值的關(guān)系求解，難度較大．