Question

我國西部某省4A級風(fēng)景區(qū)內(nèi)住著一個(gè)少數(shù)民族村，該村投資了800萬元修復(fù)和加強(qiáng)民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施，據(jù)調(diào)查，修復(fù)好村民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施后，任何一個(gè)月內(nèi)（每月按30天計(jì)算）每天的旅游人數(shù)f（x）與第x天近似地滿足f（x）=8+

8

x

（千人），且參觀民俗文化村的游客人均消費(fèi)g（x）近似地滿足g（x）=143-|x-22|（元）．
（1）求該村的第x天的旅游收入p（x）（單位千元，1≤x≤30，x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系；
（2）若以最低日收入的20%作為每一天純收入的計(jì)量依據(jù)，并以純收入的5%的稅率收回投資成本，試問該村在兩年內(nèi)能否收回全部投資成本？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)旅游收入p（x）等于每天的旅游人數(shù)f（x）與游客人均消費(fèi)g（x）的乘積，然后去絕對值，從而得到所求；
（2）分別研究每一段函數(shù)的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函數(shù)的單調(diào)性研究最小值，再比較從而得到日最低收入，最后根據(jù)題意可判斷該村在兩年內(nèi)能否收回全部投資成本．

解答： 解：（1）依據(jù)題意，有p（x）=f （x）•g（x）=(8+

8

x

)•(143-|x-22|)（1≤x≤30，x∈N*）
=

8x+ 968 x +976，(1≤x≤22，x∈N*) -8x+ 1320 x +1312．(22＜x≤30，x∈N*)

…（4分）
（2）1°當(dāng)1≤x≤22，x∈N^*時(shí)，
p（x）=8x+

968

x

+976≥2

8x• 968 x

+976=1152（當(dāng)且僅當(dāng)x=11時(shí)，等號成立），
因此，p（x）_min=p（11）=1152（千元）．…（8分）
2°當(dāng)22＜x≤30，x∈N^*時(shí)，p（x）=-8x+

1320

x

+1312．
求導(dǎo)可得p′（x）＜0，所以p（x）=-8x+

1320

x

+1312在（22，30]上單調(diào)遞減，
于是p（x）_min=p（30）=1116（千元）．
又1152＞1116，所以日最低收入為1116千元．…（12分）
該村兩年可收回的投資資金為1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（萬元），
因803.52萬元＞800萬元，所以，該村兩年內(nèi)能收回全部投資資金．…（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．