Question

4．已知命題p：對(duì)?x＞0，不等式x+$\frac{4}{x}$≥m恒成立，命題q：關(guān)于x的方程x²+（m-2）x+1=0無實(shí)數(shù)根，若￢p為假，p∧q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件判斷出p真q假，p真時(shí)，x+$\frac{4}{x}$的最小值為4，從而得到m≤4；q為假時(shí)，便有判別式△≥0，解出該不等式，和m≤4求交集即可．

解答 解：￢p為假，∴p為真；
∴p∧q為假得到q為假；
x+$\frac{4}{x}≥4$，當(dāng)x=2時(shí)取“=”；
即x+$\frac{4}{x}$的最小值為4；
∴命題p為真時(shí)，m≤4①；
若命題q為假，則關(guān)于x的方程x²+（m-2）x+1=0有實(shí)根；
∴△=（m-2）²-4≥0；
解得m≤0，或m≥4②；
①②同時(shí)成立，∴m≤0，或m=4；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤0，或m=4}．

點(diǎn)評(píng) 考查￢p，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系，基本不等式的運(yùn)用，一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況和判別式△的關(guān)系．