Question

13．定義運(yùn)算“?”x?y=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$（x，y∈R，xy≠0）．當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，x?y+（2y）?x的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過(guò)新定義可得x?y+（2y）?x=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{2xy}$，利用基本不等式即得結(jié)論．

解答 解：∵x?y=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$，
∴x?y+（2y）?x=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$+$\frac{4{y}^{2}-{x}^{2}}{2xy}$=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{2xy}$，
由∵x＞0，y＞0，
∴x²+2y²≥2$\sqrt{{x}^{2}×2{y}^{2}}$=$2\sqrt{2}$xy，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$y時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{2xy}$≥$\frac{2\sqrt{2}xy}{2xy}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義為背景，考查函數(shù)的最值，涉及到基本不等式等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．